KABATAKU, 10−2+4=? - Misconception #31

Kali ini Serial Kesalah Pahaman berkolaborasi dengan Misteri Angka.

Jadi apakah Kabataku itu benar?

Bagi yang belum konek, kabataku adalah urutan proses operasi dari penjumlahan, pengurangan, pembagian dan perkalian dalam suatu soal yang terdiri lebih dari satu operasi. Urutannya adalah Perkalian, lalu Pembagian, lalu Penjumlahan dan terakhir Pengurangan. Disingkat Kabataku (kali, bagi, tambah & kurang), begitu kebanyakan guru matematika di Indonesia menyebutnya.

Tapi apakah kita harus percaya tanpa harus membuktikan kebenarannya? Seperti yang pernah saya bahas tentang π (pi) yang sebenarnya tidak tepat kalau hasilnya adalah 227, tapi karena sudah terlanjur diajarkan kepada anak-anak sejak sekolah sampai perguruan tinggi jadi susah untuk diperbaiki.

Ok, kita mulai ke topik, berdasarkan urutan operasi yang diajarkan guru, berapakah hasil dari:

10 − 2 + 4 = ?

Apakah hasilnya 12 atau 4?

Coba kita gunakan formula ajaib yang diberikan oleh guru, pertama penjumlahan dulu lalu pengurangan.

= 10 − 2 + 4

= 10 − (2 + 4)

= 10 − 6

=  4

Hmm, hasilnya 4!


Lalu bagaimana dengan
16 ÷ 2 × 4 =?
Apakah hasilnya 32 atau 2?

Coba kita gunakan formula ajaib ibu guru lagi.
= 16 ÷ (2 × 4)
= 16 ÷ 8
=  2
dan hasilnya adalah 2!


Hmm, tapi apakah itu benar?

TIDAK!


Sebenarnya jika diuraikan secara tepat, simbol operasi hanya ada tiga di matematika, yaitu penjumlahan (+), perkalian (×) dan perpangkatan  (bⁿ), tidak ada pengurangan (−), pembagian (÷) atau pengakaran (√). Karena setiap bilangan sudah mewakili simbolnya sendiri, minus n (−n) untuk pengurangan, satu per n (1n) untuk pembagian, dan untuk pengakaran adalah x pangkat satu per n (x^1∕n). Jadi sebenarnya jika dalam kelompok yang sama, ini tidak ada masalah sama sekali. Kelompok tersebut adalah Perpangkatan dengan Pengakaran, Perkalian dengan Pembagian dan Penjumlahan dengan Pengurangan.

contohnya:
= 10 − 2 + 4
= 10 + (-2) + 4
disini sudah diketahui bahwa operator kesemuanya adalah tanda tambah. Kita bisa bagi dengan dua penyelesaian, apakah hasilnya akan sama?

= 10 + (-2) + 4
= {10 + (-2)} + 4
= 8 + 4
= 12

dan

= 10 + (-2) + 4
= 10 + {(-2) + 4}
= 10 + 2
= 12

hasilnya sama bukan? dan itulah jawaban yang tepat, satu contoh lagi.

= 16 ÷ 2 × 4
= 16 × 12 × 4
kita buat dua cara penyelesaian juga.

= 16 × 12 × 4
= (16 × 12) × 4
= 8 × 4
= 32

lalu

= 16 × 12 × 4
= 16 × (12 × 4)
= 16 × 2
= 32

Jadi tidak ada masalah lagi bukan?


Tapi tunggu dulu!
Bagaimana cara penyelesaian yang terdiri dari beberapa operasi dengan kelompok yang berbeda?
misalnya:
1 + 3 × 5 = ?

apakah urutan penyelesaiannya
= (1 + 3)  × 5
= 4 × 5
= 20

atau
= 1 + (3 × 5)
= 1 + 15
= 16

Untuk kasus ini saya dan mungkin hampir semua ahli matematika setuju kalau hasil dari kedua operasi tersebut adalah benar. Saya sebenarnya pernah mengatakan, kalau matematika hanyalah ilmu imajinasi yang sebenarnya sebagian besar dari penggunaannya hampir tidak bisa benar-benar terjadi di kehidupan nyata, seperti soal di atas, apakah kalian pernah menemukan yang seperti itu di kehidupan nyata?

Misalnya ada dua apel jatuh dari pohon, lalu jatuh lagi empat apel, lalu dikalikan tiga apel. Dan secara mengejutkan di satu sisi apel yang jatuh adalah 18 apel, dan di sisi lain ada 24 apel, tidak masuk akal bukan?

Juga karena keterbatasan yang ada di semesta, kita hanya mampu menyelesaikan hanya satu operasi saja dari penyelesaian yang terdiri dari beberapa operasi. Jadi entah yang kamu gunakan (1+3)×5 atau 1+(3×5), secara simpel dan tidak usah membawa keributan, hasil dari keduanya adalah benar.

catatan: kecuali jika ada kesepakatan antara murid dengan guru tentang penggunaan urutan operasi, misalnya menggunakan urutan operasi berdasarkan kelompok dari perpangkatan, lalu perkalian, dan terakhir penjumlahan, atau menyelesaikan sesuai urutan operasi dari operasi paling depan dan seterusnya sampai yang paling belakang, atau sebaliknya dari belakang ke depan. Ini baru bisa mengurangi selisih paham untuk menentukan satu saja hasil yang dianggap lebih tepat.

 Terimakasih telah membaca.